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脑洞大开之等强度板圆板  

2016-01-18 22:43:36|  分类: 分析设计 |  标签: |举报 |字号 订阅

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各位可能听说过等强度梁,但是你听说过等强度板吗?回想一下,等强度梁上各横截面上的最大正应力都相等,那么等强度圆平板就应该是各点处最大正应力都相等。等强度梁将材料的性能用到了极限,所以是最节省材料的结构。如果能得到均布载荷下的等强度板,那么最优最省的圆平板解就完美解决了,从此做圆平板,朝着这个结构方向努力,就是最佳平板。

等强度圆平板长什么样子呢?不妨畅想一下:对于厚度和直径比小于1/5的受均布载荷的周边固支的圆平板,径向和周向应力按如下公式分布:

脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客

 最大应力在板上下表面,
只计算下表面。得:

脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
 看到了吗?在中间部分它是一个椭圆。
此为一个双曲线线方程。两个方程的曲线如图
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
 此为一个双曲线线方程。两个方程的曲线如图:
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
 所以板的形状大致为这样~
同理按照式4,可得另一个曲线
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
将两个曲线组合到一起(不要问为什么这样组合,就是这么任性,不要问我意义,NB不需要解释~)
 
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
为了得到最好的均布载荷,用包络线得到板厚随曲线变化的图形,并在结构不连续区域用R角连接。这样便得到了下表面应力均为σr(假设 σr=σθ)的周边固支圆平板。
 
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
 这种圆平板的应力状态是否如推测的呢?为了验证这个圆平板的受力特性,可以用ansys做受力分析。为了简化建模,用直线代替双曲线(也可以ansys命令流的循环语句以直代曲建立近似的双曲线模型)板的模型。
本ansys模型使用轴对称单元plane82,边界条件为:中心轴对称,边缘直线uxuy=0,下边加载均布载荷p。
假设圆平板R为500,许用应力σr=137.5 ,p=1MPa,泊松比0.3,弹性模量为2×105MPa按照圆平板公式,下表面达到σr=137.5时的板厚为36.9(按公式1)。厚径比小于1/5,符合薄板的条件。用有限元建立模型:
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
划分网格 
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拐弯处 
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边界条件 
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
 求解:
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
 从上图可以看出最大应力出现的地方是R角与直线相连处的下表面,可以理解成,我们用直线代替了双曲线,实际上是减少了板厚,削弱了,所以应力最大的方出现在削弱最大处。由于前半部分椭圆是按要求做的,为了证实推测,我们可以观察直线L4处(L4 位置见图6)的应力分布。
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
 L4远离不连续区和转角区,其上的节点的号码从中心到边缘依次为135,137,139,。。。。。。,221,在节点135上,总应力为150.23,在节点221上,总应力为79.8。可以看出相差比较大。推测是由于此板并非标准的圆平板所致。为了证实推测,在模型中按比例减少长半轴αθ的距离。得到表如下:
脑洞大开之等强度板圆平板 - vcad2013 - VCAD的博客
 可以看出当长半轴的距离为标准的0.818倍时,直线l4上的各个节点上的总应力大小几乎相同。证实了等强度板在r<0.83R(也就是中间83%的部分实现了等强度!)情况下形状为椭圆形。可以类比猜测,当R>0.83R时,其形状应为双曲线。(因为边缘与边缘结构有关,所以还有待实际证实)

结论:等强度圆板外形,中间部分为椭圆,边缘部分为双曲线。

(NB结论,不欢迎转载)

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